泛函分析-Banach空间

Banach空间 赋范空间 范数 泛函分析
泛函分析
发布日期:   2023-12-12
文章字数:   878

Banach空间

赋范空间

范数

赋范空间：设E是K上的线性空间，定义范数，称为赋范空间，若满足

赋范空间是一个度量空间，

Holder不等式

Holder不等式：设是可测空间，令，存在 ，满足 ，对于任意 ，则 且有

证明：考虑函数 特别地，令，有 现在，令对于任何固定的，则有 因此 从而

Minkowski不等式

Minkowski不等式：设，则有 即

证明：

  • 当时，结果显然
  • 当时， 另一方面，有 这意味着

等价范数

范数等价：设是向量空间E上的范数，称等价，若满足

有限空间范数等价定理：有限维线性空间上所有范数都等价

证明：只需证明任一范数都与2-范数等价

设，是的一个基，即，有唯一表示 现在

由范数的三角不等式可知，函数 连续

因此函数在紧集上能取得最小值，即 因此

范数等价可以说明：

  • 相对于有当且仅当相对于有
  • 相对于是柯西列当且仅当相对于是柯西列
  • 相对于是开的当且仅当相对于是开的

Banach空间

柯西列

柯西列：称是赋范空间E中基本列（或Cauchy列）是指

对于任意的赋范空间，不是所有柯西列都收敛

Banach空间

Banach空间：称赋范空间为空间，若每一个柯西列都在中收敛

无穷维Banach空间：无穷维的Banach空间的线性空间的维数不可数

证明：反证，设是无穷维空间的可数基，设是的闭子空间，且满足 由Baire纲定理知，至少有一个是非无处稠的，即 由于是子空间，因此 从而有 ，矛盾！

Banach空间

有限维完备性：有限维赋范空间X一定是Banach空间

证明：设 ，则与同胚，由于是完备的，因此是完备的

定理：赋范空间X的有限维子空间M是闭子空间

证明：设是X中的收敛子列，满足

设，只需证明，事实上，是柯西列，M是完备的，因此

Riesz引理

Riesz引理：设是赋范空间，Y是X的闭子空间，，则对于任意，存在，使得

证明：由于，从而 ，令 令

定理：设是无穷维赋范空间，则单位球和单位球面都不是紧集

证明：只需证明单位球面或单位球不是列紧集

设 ，线性无关

令，则且是的闭子空间

从而 即没有收敛子列，从而、都不是列紧集，更不是紧集

紧性列紧性+闭性

级数

收敛级数：设，令， 若收敛到，则称序列 收敛到 ，且记为

Banach空间的收敛性：设是空间，序列收敛当且仅当对于

绝对收敛：称级数 绝对收敛，若满足 在中收敛

定理：是空间当且仅当中任意一个绝对收敛级数都收敛

证明：

  • 必要性：显然成立

  • 充分性：设赋范空间中任一绝对收敛级数都收敛

    任取中柯西列，则有是有界序列，即存在使得

    选取子列满足 取，因此，级数收敛

    即级数绝对收敛

    由假设知，级数收敛，记，于是 下面我们证明，事实上，对于 同时， 令，则对于，选取， 由此，

可分

可分：称赋范空间是可分的，若存在可数稠子集

可分空间

  • 是可分的
  • 是可分的，
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