位势方程
基本解
基本解推导
计算Laplace方程基本解 注意基本解只与有关，因此 从而 令，可得 两边乘上得到 由的广义函数性质，从而有 即 解得
基本解
Laplace基本解：对于，Laplace方程的基本解为
由基本解的性质，对于非齐次位势方程 函数 是方程的解
调和函数
平均值公式
平均值公式定理：设为调和函数，则对于任意球，满足 证明：
- 令 作平移和伸缩变换，则 对求微商，由Gauss-Green公式可得 于是是一个常数，由的连续性，从而 即
- 注意到 再利用上式，则 即
平均值公式逆定理
平均值公式逆定理：设满足，对任意，有 则是调和函数
证明：对于固定的，任意球，令 由假设可知，是一个常数，因此 即 于是 令，由的连续性，则
极值原理
极值原理：设是上的有界开集，是上的调和函数，则 - 在上的最大(小)值一定在边界上取到，即 - 若连通，且存在使得调和函数在点达到在上的最大(小)值，则在上是常数
证明：仅就最大值的情形证明
刘维尔定理
刘维尔定理：若是上的有界调和函数，则是常数
证明：设，固定，对任意，在球上，有 令，有 因此是常数
哈纳克定理
哈纳克定理：设是上的调和函数列，若在上一致收敛，则在上一致收敛，且收敛于一个调和函数
证明：由极值原理知 由于在上一致收敛，可知在上一致收敛，记一致收敛到函数
再由于满足平均值公式，即
由一致收敛可极限与积分换序，则有 从而满足平均值公式，故是调和函数
可去奇点定理
可去奇点定理：设是调和函数的孤立有界奇点，则可以延拓为整个上的调和函数
证明：只需考察单位化后对，若在有界调和，连续，则能延拓到整个单位球
我们只需证明和作为Dirichlet问题的解在上相符即可，其中满足 先设，对，定义 显然有且时，，同时时，
于是对环状区域使用极值原理，令，可知在上恒成立
于是令，可知，用同理可得，从而有在上 即为在上的延拓
格林函数
Dirichlet问题
下面来解决Dirichlet问题 为此我们利用基本解来构造格林函数，并以此来获得解的表达式
设是有界开集且光滑，是Dirichlet问题的解
固定，取充分小，使得，在区域上对和基本解应用格林公式，则有 其中表示上的单位外法向量
注意到，当时，，且时，有 进一步还有 从而得到 但是，对于Dirichlet问题来说，仍然未知，下面将通过引进一个调和函数来消掉这一项
设对给定，函数满足方程 再次运用格林公式 于是有 记格林函数为 从而有
对于一般的Dirichlet问题 由格林函数构造出的函数
格林函数性质
对称性：对任意，有
证明：固定，令 则有以及
取充分小，在区间有 由在附近光滑，故 另一方面，，在内光滑，故 因此，当时，
于是，即
