数值分析-数值分析与科学计算引论

数值分析与科学计算引论

1.1 数值分析的对象、作用与特点

数值分析是研究数值问题的算法，概括起来有四点：

• 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算，这些运算是计算机能直接处理的运算

• 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。这些都建立在相应数学理论的基础上。

• 要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节约计算时间，空间复杂性好是指节省存储空间，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。

• 要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。

1.2 计算机中输的浮点表示

1.3 数值计算的误差

1.3.1 误差与有效数字

绝对误差：设x为准确值，为x的一个近似值，称为近似值的绝对误差，简称误差

相对误差：把近似值的误差与准确值x的比值 称为近似值称为近似值的相对误差，记作

有效数字：若近似值的误差限时某一位的半个单位，该位到的第一位非零数字共有k位，就说有k为有效数字，它可以表示为 其中是0到9中的一个数字，，m为整数，且

Note: 有效数字值与阶码无关，故可理解为先进行浮点表示，在浮点表示下，去掉阶码的误差限的小于半个单位的位数

定理：设近似数表示为 其中是0到9中的一个数字，，m为整数。若具有n位有效数字，则其相对误差限 反之，若的相对误差限，则至少有n为有效数字