数理方程-卷积

数理方程 卷积
数理方程
发布日期:   2023-12-29
文章字数:   943

卷积

函数与函数的卷积

函数卷积：设是中的连续函数，设其中至少一个具有紧支集，则称

为卷积

实际上是在平移y后，按其平移量y加权求和(积分)，因此，应该保有的许多性质，同理，也应保有的许多性质

  • 交换律：
  • 结合律：
  • 微分：
  • 支集：

函数与广义函数的卷积

函数与广义函数的卷积

函数与广义函数的卷积：设，则称和的卷积为

无交换性质，广义函数与函数之间卷积本质为泛函作用在基本函数上

引理：设为开集，，且有紧集满足当时有对任意成立，对于，则函数且

定理：若，则

证明：

  • 由上述引理直接推得

  • 设，即不存在，使得同时有，但 所以，而由广义函数的支集的定义知，当，有

    于是有 即

  • 因，故由上述引理及广义函数的微商定义可得

引理：设为开集， 且，这里为紧集，如果，则

证明：可知是光滑函数，且其支集含于，故可积，为简便，将扩展为维正方体，则积分可取在上，等分为边长为的小正方体，作黎曼和

令，一方面

另一方面

且这种收敛性是中的收敛性，这是因为，首先，此外，对于任意重指标，有

故

定理：若，且，则

证明：由于

广义函数的正则化

广义函数并不是经典函数概念的漫无边际的推广，因为每一个广义函数局部地都是某连续函数的有限阶微商，现在可以进一步证明每一个广义函数都可以用光滑函数去逼近，其方法就是之前讨论过的磨光技巧，即用磨光核进行卷积运算，下面给出这个逼近定理

广义函数逼近定理：任一广义函数皆可用函数在意义下逼近

证明：任取磨光核，则对，知

下证：(于中)

任取，注意到对于任意广义函数

于是有 由于也是磨光核，所以可知 于中 从而 即

这一个定理可以进一步改善为：每一个广义函数都可用函数去逼近

定理： 若，则必可用一串，使得 于中

广义函数的卷积

广义函数作为上的泛函，即，则对任意，为一确定的数，且若，使得，则有，但我们还可以用卷积给出的另一种条件

由于，故若，使得，则有

广义函数的卷积：设，则定义和之间的卷积为

注意和中至少有一个具有紧支集，对两个一般的不能一般地定义其卷积

广义函数卷积的性质

定理：设，且其中至少有两个具有紧支集，则

  • 卷积运算关于每个因子是线性的

证明：

  • 对于任意，有

  • 对于任意，有

    于是有

    所以

  • 对任意其支集包含在的余集中的，它满足，于是有

    因此，在的余集上为零，所以

  • 对于任意，有

    即，再由广义函数卷积的对称性，得

  • 对于任意，应用广义函数微商的定义可得

上述卷积运算的结合律、交换律及使得广义函数在卷积运算下成为一个有单位元的代数，其单位元为函数，称其为卷积代数\ 有了上述卷积运算的结合律及交换律，则可定义任意个广义函数的卷积，只要它们中至少有个是紧支集的即可，即

广义函数卷积的奇异性：设，且至少一个具有紧支集，则

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