傅里叶变换
急减函数空间
广义函数与傅里叶变换
傅里叶变换：设在上可积，的傅里叶变换定义为
急减函数空间及其上的傅里叶变换
急减函数空间：空间定义为
在中趋于0即指对任意固定的
由定义可知，中的元素连同其各阶微商在处皆以高于任意次多项式倒数的阶趋于0，所以，空间也称为急减函数空间
傅里叶变换：设，定义傅里叶变换为
定理：设，记其傅里叶变换为，则，而且
证明：由于急减，我们可以在积分号下求微商，也可以做分部积分而且积分号外之项为0，所以
又因为，所以 最后
所以F将映到中，而且由中趋于0的定义，是连续的
高斯函数傅里叶变换：
证明：因为
所以 对积分，应用柯西定理来改变积分路径，即有 于是
傅里叶逆变换
逆变换公式：有连续的逆映射，且
证明：取上述高斯函数，有
用代替，则应改为，令代入上式有 令，即得
又，故
傅里叶变换的性质
傅里叶变换的性质：
傅里叶变换与反射：
傅里叶变换与平移
傅里叶变换与相似变换
其中表示先将之自变量乘以再作傅里叶变换，即
傅里叶变换与线性变换
傅里叶变换与微分运算
傅里叶变换与卷积
定理：若，则，且
证明：
由，所以另一个逐次积分是存在的，故
因两个函数之积仍为函数，所以，又因为，因此
帕塞瓦尔（Parseval）等式
下面我们证明重要的帕塞瓦尔（Parseval）等式，这是一个对偶性的关系式，它是定义广义函数的傅里叶变换的基础
帕塞瓦尔（Parseval）等式：若，则
证明：将绝对收敛的二重积分化为逐次积分有
同样
缓增广义函数
缓增广义函数及其傅里叶变换
缓增广义函数：空间上的连续线性泛函称为缓增广义函数，其集记为
的连续性可以理解为：若，则，充分必要条件为：存在非负整数以及常数使对一切有
引理：满足关系
证明：作为函数集合，显然有
设（于中），则一切具有共同的紧支集，在其外一切，且对任意，有
再给任意，则有
这表明（于中）
即给出了一个连续的嵌入算子，左边的视作中的元素，右边的视作中的元素
即嵌入算子是连续的
同理可证嵌入算子也是连续的，故将包含关系与嵌入算子的连续性记作
定理：满足嵌入关系
证明：设，则因，有，则有意义且是线性泛函
事实上，若（于中），则可知（于中），从而
这说明，作为上的线性泛函也是连续的，所以
故
同理可得
此外，若，且（于中），则对任意
但因，所以对任意，也有 ，即是（于中）
这表明，嵌入映射也是连续的
缓增广义函数的傅里叶变换
上的傅里叶变换：若，则对任意，定义了一个的元素，记作，并称为的傅里叶变换，即
定理：若，则
证明：因，取磨光核，则有且(于中)
由，知(于中)，于是(于中)，从而
且，则有
当在任意一紧集上时，由，于是，当时
关于一致成立，于是
广义函数卷积：设，则定义如下
定理：设，则，其傅里叶变换有
证明：设，则对任意
注意到，，则
所以
定理：设，至少有一个有紧支集，则，且其傅里叶变换有
证明：假设，对任意，由上述定理知，
又由于是一缓增函数，因而是乘子，由，则，因而，于是可进行与上述定理类似的证明
定理： ，函数都可嵌入在空间中
证明：设，任取
