泛函分析-拓扑基础

拓扑基础

佐恩引理

偏序：设X是集合，称X上的二元关系为偏序关系，若满足

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全序：设，，则或

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偏序集：称为偏序集，若满足在集合A上定义了偏序关系

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全序集：称为全序集，若满足在集合A上定义了全序关系

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上界：设，，，，则称z是C的一个上界

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上确界：称z是C的上确界，若满足z是C的一个上界，且对于C任何的上界b，都有，记作

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极大元：称为极大元，若不存在满足

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Zorn's Lemma：设是一个偏序集，若对于任意非空链都有一个上界，则存在一个极大元

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选择公理：设集合族，则存在 ，使得

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选择公理AC Zorn 引理

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线性空间

线性无关：设，称M是线性无关的，若任意M的有限子集是线性无关的，记

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Hamel基：称是Hamel基，若满足B线性无关，且

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定理：任意一个线性空间X都有Hamel基

证明：设m是X所有线性无关的子集的全体

• 任何一个链C都有上界
• 由Zorn's Lemma知，m中存在极大元B

只需证明链B就是Hamel基

反证：若存在，则是线性无关的.又因为，与B是极大元矛盾！

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度量空间

度量空间：称为度量空间，满足距离函数

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拓扑空间

拓扑空间：称为拓扑空间，若满足

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定义：设是集X的拓扑，称弱于，若满足

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相对拓扑：设，称是开集，若满足存在开集，使得

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Hausdorff分离公理：是的邻域，满足

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在Hausdorff空间中，极限唯一

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基：称为的基，若满足，满足

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B是基对于，满足

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第二可数：称拓扑空间X是第二可数的，若满足X存在一个可数基

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邻域基：称是x的邻域基，若满足

• ，v是x的一个邻域
• ，满足

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第一可数：称X是第一可数的，若满足，都有可数邻域基

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覆盖：设，，称是Y的覆盖，若满足

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Lindelof定理：若X是第二可数，则每一个覆盖都有可数的子覆盖

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紧：称是紧的，若满足任何K的开覆盖都有有限子覆盖

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Heine-Borel：在中，紧集等价于有界闭集

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乘积拓扑：称为的乘积拓扑，若满足

• 是中的开集
• 存在使得

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Baire Category

稀疏：设是度量空间，称是稀疏集，若满足

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Baire Category：完备度量空间不能写成可数个稀疏集的并

证明：若结论不成立，则存在稀疏集满足，由X是开集且是稀疏集，则有

由是开集且是稀疏集，则有

从而

从而有

从而知是基本列，故

由，故，从而有

故矛盾！

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第一纲集：称集合A是第一纲集，若A可写成可数个无处稠子集的并

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第二纲集：称集合A是第二纲集，若A不可写成可数个无处稠子集的并

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由Baire Category定理知，完备度量空间是第二纲集

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拓扑线性空间

拓扑线性空间：设X是线性空间，是X上的拓扑，称为拓扑线性空间，若满足

• 加法：
• 数乘：

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网：称为网，若满足

其中I是定向半序集

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列是一个网从N映到X

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网的收敛性：若，则对于的任意邻域U，存在使得，有

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