数理方程-广义函数

广义函数

基本空间

支集：支集为不为零的点的集合的闭包，记为

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紧支集即支集为紧集；上的紧集即有界闭集

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基本空间：是具有紧支集的光滑函数的集合

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收敛性：函数序列在中趋于0即指：

• 存在一个紧集使对一切

• 在K上，对于任意固定，满足

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空间：赋以上述收敛性之后，称为空间，上述的趋于0称为在中趋于0

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磨光核：设，令，称生成的磨光核为

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逼近：若，则在任一紧集K上一致有

证明：当，在紧集K上，取

令，

我们有，当时

当时

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单位分解

截断函数：设，，满足

称为一个截断函数

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定理：若，则存在函数，使得

证明：构造特征函数

令

• 当时，则有

• 当时

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：，且是紧集，且

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单位分解：设，对于A的任意开覆盖，必存在一组函数族，使得

• 任一点均有一个邻域V使得只有有限多个在V上不为0

• 对任意的支集必位于中

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证明：

• 若是紧集，故由有限覆盖定理可以选出有限多个开集，满足，可知，且是有界闭集，即为紧集

  记，由此得

  从而有

  类似构造，使得，这样存在

  令

  从而对任意的，有 故对任意的，都存在，使得，从而有

• 若不为紧集，令

  可知皆为紧集，且满足及

  令

  于是是紧集的开覆盖，作从属于的单位分解

  对于任意，必有一个使得且，故对于中的，有

  从而 在任一点附近都是有限和，从而有意义，令

  即为所求的单位分解

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广义函数

广义函数：设是一个开集，称为上的广义函数，若满足

• 对实数或复数有

• 若，则(连续性)

若是一个广义函数，则记作

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连续性等价表示：对任一紧集必存在常数c与非负整数k使得

证明：

• 充分性

  取一列，在中收敛于0,，要证

  事实上，由，则存在紧集，使得，且

  故对于

  故

• 必要性

  假设不成立，即有某个紧集K，使对任意常数c与k皆有一个函数，使得

  取，即有 用代替有 即 从而有且在中，由连续性，知 但不趋于0，矛盾！

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局部化原理

局部化原理：若u在上为0，则它在之任一开子集上的限制为0；反之，若有一个开覆盖，而（对一切），则

证明：

• 必要性

  要证，有，已知，即，有

  事实上，，进行零延拓，令

  ，从而

• 充分性

  要证，有，已知，即，有

  事实上，构造上的从属的单位分解满足

  局部有限，

  对于，则 其中

  故

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广义函数运算

线性运算：对于任意常数，设，则

且

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微分运算:设，则的微商仍是广义函数，且满足

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定理： 任何广义函数皆可微分任意多次，而且

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乘子运算：称局部可积函数为一个乘子，若对定义乘子运算

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线性变换：对于广义函数，以及非奇异变换，定义满足

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极限运算:设有一个广义函数序列，称(于中)即在意义下收敛于，是指对任意均有

称这种收敛性为“弱*收敛”

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定理：设且(于中)，则对于任意固定的有

证明：任取，则由微商的定义

由假设，而，故

因此

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紧支集广义函数

空间：空间是对空间赋以下面规定的收敛性所形成的空间：

即在任一紧集中，对任一选定的重指标，满足

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定义：上的线性连续泛函之集记作，其元素称为广义函数

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