泛函分析-可逆算子与谱

有界线性算子

可逆算子与谱

可逆算子

定理：设为空间，有界线性算子族构成代数，即

• 是空间

• 对于任意，有满足

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逆算子：设，称为的逆算子，若满足，记

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定理：设是空间，，满足，则存在，且

进一步

证明：由于，

因此级数绝对收敛，故收敛到，从而

即

这表明，进一步，有

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推论：设是空间，是可逆的，对于，则是可逆的，且

进一步

证明：由于

从而

同时

因此

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定理：设是空间，算子可逆当且仅当有稠密区域且存在使得

证明：

• 必要性

  令，即可

• 充分性

  显然是单射，下证是满射

  事实上，，由于，则存在一个序列满足

  由于

  即收敛到，从而

  令为

  由于

  于是

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谱

谱：设是空间，称算子的谱为

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预解集：设是空间，称算子的预解集为

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定理：设是空间，，则的谱是非空紧集，且谱半径满足

证明：设，则可逆，由于可逆算子族是开集，于是当，有，因此是开集，是闭集

另一方面，若，则有

由于

从而，这表明，以及是有界的

最后验证非空，事实上，若，则对于，定义

在上是解析的，事实上，注意到

于是可以得到

因此

从而在上解析

进一步，对于，有

因此在上有界，由刘维尔定理，知上有界解析函数是常数，因此

此时，矛盾！

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定理：

证明：令，定义为

由于，在上解析，则可以幂级数展开，由

显然，这个级数在时收敛，

注意到，因此

另一方面，若，则有

因此若可逆，则也可逆，且

对于不可逆，从而，因此得到

取的上界，从而

从而

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定义：设是复空间，

• 称的点谱为

  即，的点谱为所有特征值组成的集合

• 称的连续谱为

• 称的剩余谱为

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定理：设是复空间，，若，则

其中

证明：

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推论：若，则存在

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