数理方程-波动方程

波动方程

基本解

基本解推导

计算波动方程基本解 关于方向作傅里叶变换 对应齐次微分方程的基础解组为 由常数变易法，有 解得 于是有 从而有 通过傅里叶逆变换 令轴经过，同时对进行球坐标变换 于是 同理，可得

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齐次化原理

齐次化原理：设是柯西问题

的解，则有是柯西问题

的解

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柯西问题

一维柯西问题

考虑一维的柯西问题，即弦振动方程

由叠加原理，可将上述方程分解为

• 先看第一个方程，令

  于是

  代入方程，得到

  即

  于是

  由初值条件得到

  从而解得

  因此

• 再看第二个方程

  由齐次化原理，方程的解，其中满足

  由此，可以解得

  于是有

• 于是原方程的解为

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一维初边值问题

下面来解决弦振动方程的初边值问题

• 先处理零边值问题，即

  • 采用分离变量法来处理

    令，代入得

    于是

    得到

    此方程问题的所有非平凡特征值为 与特征值对应的解为

    于是有，即

    从而

    利用初值条件来求解，有

    于是

    由此得到的表达式

  • 由叠加原理，可将方程分解为

    由上述可知，采用分离变量法可以解得，再由齐次化原理，知方程二的解为

    其中满足

    由此，同样采用分离变量法，可以解得，从而得到

    至此，完成求解

• 再处理非零边值问题

  构造辅助函数，化为零边值问题，令

  从而满足零边值问题，即

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三维柯西问题

下面来考虑三维柯西问题

令

目的是将方程组化为形式，然后应用基本解的性质，进行卷积求解

由于，有

即

同时

即

于是

由基本解的性质，可得

对于，由

于是

同理，有

从而有

由于，于是

同时

其中表示在球面上的平均值

同理得

于是

下面验证条件

• 首先验证满足方程

• 验证满足初值条件

  即需满足

  以及

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降维法——二维柯西问题

下面通过降维法来处理二维柯西问题

当时，三维柯西问题的齐次解为

将上球面投影到二维平面上

于是

同理

于是

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能量积分法

下面讨论二维波动方程定解问题的唯一性和稳定性，采用能量法来处理

对于二维的薄膜振动，有

动能为

位能

于是，总能量为

由物理学知道，当薄膜系统不受外力时，即，系统的总能量守恒，即，下面从数学上推导这个等式，即

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能量等式

能量等式：当，系统的总能量守恒，即

证明：

其中

代入有

由于，可得，于是

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二维波动方程初边值问题的唯一性

下面给出能量等式在证明解的唯一性的应用

定理：二维波动方程的初边值问题的解是唯一的，即方程

的解是唯一的

证明：设都是方程的解，令，由叠加原理知道，满足

于是得到

即

从而有

又由于，则有，即

唯一性得证

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能量不等式

当外力时，对估计，讨论

• 计算

  即

  即有

  两边乘以，得到

  于是

  得到

  对于，有

• 令

  计算

  从而有

  两边乘以，得到

  于是

  即

  对于，则有

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二维波动方程初边值问题的稳定性

初边值稳定性：二维波动方程初边值问题的解关于初值具有稳定性

证明：设解对应，解对应于，令满足

由于

即有

于是，对，当充分小时，，有

对 同理可证

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二维波动方程柯西问题的唯一性与稳定性

二维波动方程的初值问题

由于此时能量

发散，于是不考虑全局的能量，考虑局部能量的估计

定理：当外力时，有，其中

以及

证明：即证

由于

由于，因此

于是有

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二维波动方程柯西问题的唯一性

定理：二维波动方程柯西问题的解具有唯一性

证明：令均满足问题，令，则有

因此，有

于是

因此

从而，即

又由于，因此，，即

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二维波动方程柯西问题的稳定性

定理：二维波动方程柯西问题的解具有稳定性

证明：由于

于是有

两边同乘得

由于

于是，当时

于是，，因此稳定性成立

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