泛函分析-重要定理

重要定理

一致有界原理

一致有界原理：设是Banach空间，是赋范空间，令是一族有界连续线性算子，则以下条件等价：

• 一致有界

• 逐点有界

证明：只需证明

对于任意，令 显然是闭集，由于逐点有界，从而对于任意，存在一个使得 此时，对于任意，总有，从而，因此 由Baire纲定理，可知存在满足存在内点，即存在，使得 取，使得 因此，对于任意，有 此时，取，则有

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推论：设是Banach空间，是赋范空间，令使得对于任意，都有收敛，记，则

证明：容易得到是良定义的且是线性的

进一步，由于是逐点有界的，由一致有界原理可知，存在，使得 因此 从而

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推论：设是赋范空间，，则在中范数有界当且仅当对于任意，在中有界

证明：由于，且是完备的，因此范数有界当且仅当在中逐点有界

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开映射定理

开映射：设是Banach空间，称连续线性算子是一个开映射，若满足将中的开集映到中的开集

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开映射定理：设是Banach空间，是满射连续线性算子，则是开映射

证明：设是中的单位开球，注意到

由Baire纲定理知，存在一个

取，使得 令，，从而有 因此存在使得

令，则我们有，再由于 因此存在使得

重复上述过程，我们能得到使得 由于 且是完备的，故存在使得 因此，，从而 这表明 因此，是中0的一个邻域

一般来说，若是中开集，是中的内点，则存在使得 由于 则有 是的邻域，且，因此是中的内点，即在中是开集

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Banach逆映射定理：设是Banach空间，是双射线性有界算子，则有界

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推论：设赋范空间完备，其中为线性空间，若存在使得，则与等价

证明：考虑自映射，显然是双射线性有界的，则可知有界

即存在 故与等价

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闭图像定理

图像：设是Banach空间，是线性算子，称算子的图像为 称有闭图像，若在中为闭集

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注意在范数 下是完备的

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闭图像定理：设是Banach空间，是线性算子，则连续当且仅当有闭图像

证明：

• 必要性

  若连续，取任意，则有 由于的连续性，可知，因此

• 充分性

  若的图像为闭集，在上定义范数

  下面证明完备

  事实上，若是中的柯西列，则

  由于的完备性，知存在，使得在范数下，

  同理有 由于的完备性，知存在，使得在范数下，

  因此，在中，由于的图像是闭集，从而有 故 从而完备

  考虑自映射，由于，知与等价，因此存在，使得 可得 即有界，从而连续

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Hahn-Banach定理

引理：若是上的非零连续线性泛函，则

是开集、凸集

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Hahn-Banach定理：设是赋范空间，是上的子空间，是上的连续线性泛函，则可以拓展为上的连续线性泛函，满足

证明：

• 从实数情况出发

  令，则是上的实泛函，由于，则有

  因此，

  显然有，，另一方面，设，且，以及

  令，则，以及

  由于，有

  从而，因此

  于是，若，此时定理等价于存在的实泛函拓展，故不妨令且

• 拓展到子空间

  对于任意，则有，记，可以将拓展为，满足

  我们要求，也就是，需要满足

  等价于，有

  可以简化为

  任何满足上式的实数，都可以理解为在上的保范线性拓展

  若满足

  则不等式有解

  事实上，对于，有

  因此，可以得到

  因此，有

  于是，可以将从拓展到，记为，且有

• 应用Zorn 引理

  令

  令

  由于，故，建立序关系，满足

  对于任意中的链，令

  定义为

  则有是线性子空间，且，同时是拓展到上的线性泛函，进一步

  因此，因此且为的上界，由Zorn 引理，知存在极大元

  下面说明

  事实上，若存在，则令，由第二步的操作，可以拓展到上为，满足，因此，，且，与的极大性矛盾，故

  从而，为在上的拓展，满足

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定理：设是赋范空间的闭子空间，，则存在，满足

证明：令，定义为

于是是上的线性泛函，注意到对于，由于，则有

因此

再取序列，满足

从而

于是，从而

由Hahn-Banach 定理，存在上的连续线性泛函，满足

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推论：设是赋范空间，，则存在，满足

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推论：设是赋范空间，，则有

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定理：设是赋范空间，若可分，则可分

证明：设在中稠密，则对任意，存在，满足

令，显然可分，下证

若不然，则存在，由Hahn-Banach定理，存在，使得

从而

这表明不在上稠密，矛盾！

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定义：设是线性空间

• 称为吸收集，若满足，存在，使得

• 称为绝对凸集，若，有

• 称实函数为次线性，若，有

• 称实函数为半范数，若满足

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半范数与范数的不同之处在于，由不能推出（使半范数值为0的元素不一定是0元素）

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Hahn-Banach 定理：设是线性空间，是上的半范数，是的子空间，且是上的线性泛函，满足，则在上存在一个线性泛函，满足

证明：令，则是的子空间，且是线性空间，定义上的范数

则诱导了上的一个线性泛函为

进一步，有

定义在上为

则有为上的线性泛函，且