泛函分析泛函算子

泛函分析

发布日期: 2023-12-15

文章字数: 1.2k

连续线性算子

算子基本定义

线性泛函：称线性映射为线性泛函

有界映射：称映射是有界的，若

算子连续性等价性定理：设是赋范空间，线性算子，则有以下等价

是连续的
在0处连续
使得（有界性）
，在中有界

证明：

，由的线性性质即可得到
对于赋范空间中0处的开邻域，则存在中的0处开邻域，使得，进一步，存在，使得，且有从而有
对于任意，则存在，使得，由此，可以得到即同时对于，显然有
对于任意，令，则对于任意，可以得到因此，是连续的

定义：设是赋范空间，用表示所有连续线性算子构成的赋范空间，其中范数定义为

引理：设，则有且

证明：设

由于，则有，同时对于任意，有即，从而有
对于任意，若，则有即有即有，因此，故
进一步，显然有从而有

对偶空间

对偶空间：设是，称为的对偶空间

是Banach空间，范数为

定理：设是赋范空间，则完备当且仅当完备

证明：

必要性

对于任意Cauchy列，固定任意，由Hahn-Banach定理，则存在，使得且，对于任意，定义一个算子

则是一个线性算子，且

从而有，故

即是的Cauchy列，因此，存在，使得，即

故
充分性

对于任意Cauchy列，则对于任意，有

表明是中的Cauchy列，因此可记为

容易看出是良定义的线性算子，下面我们证明有界且

事实上，对于任意，由于是Cauchy列，因此存在，使得

从而有

令，可以得到

从而有且

因此，且

对偶空间的例子

例子：

证明：

例子：

证明：

例子：

证明：

例子：

证明:

例子：

证明：

例子：

证明：

Riesz 表示定理

Riesz 表示定理：设是空间，，则恰有一个，使得可以表示为

并且

证明：令，则是的子空间

若，则

取即可
若，则有，由正交分解定理知

显然且，现对任给，取，则

故，从而，总之

这表明与张成整个空间

于是

从而得到

于是

因此

即为所求
下证唯一性，若有，使得

则

即

可见
最后，证明范数相等，由

以及

于是

伴随算子

伴随算子：设是空间，，称的伴随算子，若满足

定理：是空间上的有界线性算子，且

证明：固定，令

则是上的有界线性泛函满足

由Riesz 表示定理，存在唯一的使得

且满足，令，则是上的良定义的线性算子，进一步，有

从而，因此，有

但显然有

因此，可以得到，这表明

定理：对于任意，则有

证明：

对于任意，有

从而
对于任意，有

从而
对于任意，有

从而
对于任意，有

因此，，从而

定义：设，则

称为自伴随的，若
称为酉算子，若是双射，且
称是正规算子，若

对于任意，容易看出

其中和是自伴随算子
若是自伴随算子或酉算子，则是正规算子，反之不成立
若是自伴随算子，则也是自伴随算子
若是自伴随算子，则自伴随当且仅当
若是双射，则是酉算子当且仅当

定理：是正规算子当且仅当

证明：

若是正规算子，则对于任意，有
另一方面，对于任意，由于，故，于是

由极性分解得

这表明

从而有

若是正规算子，容易得到，于是有

定理：若自伴随当且仅当

证明：

若自伴随，则，有

因此
另一方面，，由于，则有

这表明

定理：若是酉算子当且仅当，当且仅当

证明：

容易得出是酉算子时，，对任何，有

因此，

类似可得
另一方面，若，则有T是等距同构，因此保范，从而是酉算子

酉算子也称为保范算子

定理：若，则

证明：令

若，则，这表明

另一方面，若，则

由于，可以得到

这意味着

注意到，从而有

设，用代替

若，取上界可得，于是

正算子：设，称为正算子，若满足

记为

显然正算子是自伴随算子

定理：若是正算子，则是正算子当且仅当

证明：

若是正算子，于是是自伴随算子，故
另一方面，设，我们将会证明，若，不等式成立，因此，不妨设，令

则是自伴随算子

下证：

事实上，对于任意，有

于是

设，则有

于是，这意味着

以及

于是有，由归纳法完成了上述论证

注意到

从而有

这表明

令，则级数收敛，因此，于是

由的定义，都与交换，于是

因此，