泛函分析-赋范线性空间

赋范线性空间

线性空间及其范数

线性空间及其范数

线性空间：由一个加法阿贝尔群，一个数域和和一个数乘运算组成的，数乘运算满足对每个和有

• 1x=x

范数：线性空间上的范数是一个函数，使得中的每个都对应一个非负实数，满足如下性质：

• 当且仅当 等号成立
• ，其中
• ，其中

赋范线性空间：赋予了范数的线性空间称为赋范线性空间或赋范空间

赋范空间是距离空间，且它的距离是

连续空间

空间：设是距离空间，用表示上所有有界连续的K值函数，它是关于逐点定义的加法和数乘运算的线性空间

空间：是所有满足：对于每个，都有一个依赖于和的的紧子集，使得

空间：是所有满足：存在依赖于的的紧子集，使得

空间都是的子空间

空间：设是赋有离散距离的自然数集，则是中所有有界序列的集合，用来表示，即

空间：，

空间：，

测度空间

设是测度为的测度空间 - ：若，所有具有性质的可测函数集合，中几乎处处相等的函数视为一个函数 - ：所有本质有界可测函数的集合，范数定义为

若是赋予了计数测度的自然数集

• 若，则变为所有-阶可和数列的集合 ，它的范数为
• 变为序列空间

可微函数空间

空间：设为的子空间，是上所有阶连续可导的函数的集合

空间：

线性映射的连续性

线性泛函：称线性映射为线性泛函

有界映射：称映射是有界的，若

定理：线性映射是有界的当且仅当存在常数使得

对偶空间：上所有连续线性泛函的集合称为的对偶空间，记为