Hilbert空间
内积空间
内积
内积空间：设
称
柯西不等式
Cauchy不等式：设
证明：
- 当
时，不等式显然成立 - 当
时，令 ，则 令 ，则可以得到 等号成立当且仅当
内积诱导范数：设
Hilbert空间
Hilbert空间：若内积空间
内积连续性定理：设
证明：由于
平行四边形法则：设
证明：
极化恒等式：设
数域
为 时， 数域
为 时，
乘积空间内积：设
证明：
最优逼近
最优逼近元
最优逼近元素：设
最优逼近元存在唯一性定理：设
证明：令
由于
为证唯一性，设
从而
这就证明了
推论：设
正交
正交： 设
勾股定理： 若
证明：
定理：设
证明：
必要性
，则有 从而 即 令 ，从而 即有 由 的任意性，令 ，故 充分性
，有 ，则有 ，从而 因此，
定理： 设H是Hilbert空间，B是H的闭凸集，
证明：
，则有 因此，可以得到 即 令 ，从而有 ，有 这表明 ，则 且 这表明 令 ，可得 从而 即
推论：设
证明： 设
正交分解
正交补
正交补：设
- 定义
为 的正交补 - 定义
为 的正交补
定理：设
是X的闭子空间，
证明：
由于
，可知 是 的闭子空间，若 ，则有 ，即 设
，任取 ，则有 ，即 ，因此 对于任意
，则有 ，由于 ，因此 ，故 由(2)可知，
，由于 结合(3)可知， 因此
定理：设
证明：
- 对于任意
，都有 且有 这表明 ，因此 - 若
，则有 ，且由 因此，
正交分解定理
正交分解定理：设
证明：设
显然有
故
正交化
正交族
正交族：称集族
定理：若
证明：
Bessel不等式
Bessel不等式：设
证明：由于
Riesz-Fischer定理
Riesz-Fischer定理：若
Gram-Schmidt正交化
Gram-Schmidt正交化：设
证明：令
一般来说，设
定理：设
正交基
正交基：设
定理：设
证明：
设下列求和收敛
则有 因此， ，由 的极大性，可以得到 为了满足
收敛，考虑网
，注意到 下面说明
事实上，由于
，则 进一步 这表明， 是有限的，因此至多可数个 非零，从而级数和 是可数和，由 的极大性，可以得到 ，则对于 ，存在一个有限集合 使得 对于任一有限子集 ，可以得到 注意到 ，则有 这表明 进一步，由 由于 ，则有 最后，若 ，则 因此， 的表示唯一
定理：
证明：
设
为有限维 空间， 为 的完全标准正交基，由于非零元组成的正交集都是线性无关的，因此 是线性无关的，因此 必然为有限集合 ，又因为 是完全的， 中唯一与所有 都正交的元为 的零元，可知 为 的代数基 若
为无穷维的，下面证明 的任一标准正交集 均不为 的代数基，即 若
为有限集，则上述结论显然成立 若
为无限集，则不妨假设 含有两两不等的序列 ，由于级数 收敛，由Riesz-Fischer定理知 在 中存在且任取 有 ，假设 ，则 因此对
中与每一个 都不相等的元 有 ，这说明集合 是有限的，但这个集合显然包含每一个 ，因此， ，从而
定理：
证明：设
- 若
有限，则 是 的Hamel基，这表明， 也是有限的， 也是Hamel基，故 - 若
，对于 ，定义
定理：双射线性映射
证明：
定理：Hilbert空间
证明：
