数值分析-插值法
插值问题
插值法概述
插值法：设函数在区间上有定义，且已知在点上的值，若存在一简单函数，使 成立，就称为的插值函数，点称为插值节点，包含插值节点的区间称为插值区间
多项式插值
多项式插值存在性唯一性定理：设在区间上给定n+1个点上的函数值，存在唯一次数不超过n的多项式，使
证明：由此可得关于系数的n+1元线性方程组
此方程组的系数矩阵为 由于互异，故 因此，方程组的解存在且唯一
拉格朗日插值
拉格朗日插值多项式
插值基函数：若n次多项式在n+1个节点上满足条件
就称这n+1个n次多项式为节点上的n次插值基函数
拉格朗日插值多项式：形如 的插值多项式称为拉格朗日插值多项式
插值余项与误差估计
定理：设在上连续，在内存在，节点，是满足条件的插值多项式，则对任何，插值余项 这里且依赖于x
证明：容易得到 为了求出，构造辅助函数 可得在区间上有共个零点，由罗尔定理，可知在区间上至少有个零点，以此类推，最后知在区间上存在一点，使得，即
牛顿插值
差商
差商： - 称为函数关于的一阶差商 - 称为的二阶差商 - 一般地，称 为的k阶差商
- 差商与节点的排序无关，称为差商的对称性，即
- n阶差商与导数的关系为
牛顿插值多项式
牛顿插值多项式：形如 的插值多项式称为牛顿插值多项式
牛顿插值余项
定理：牛顿插值多项式余项满足
埃尔米特插值
插值多项式要求在插值节点上函数值相等，但有的实际问题还要求在节点上导数值相等，甚至高阶导数值也相等，将满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特插值多项式
两点三次埃尔米特插值
两点三次埃尔米特插值：插值节点取为及，插值多项式为，满足条件
解：采用基函数方法，令 其中是关于节点以及的三次埃尔米特插值基函数，它们应分别满足条件
于是求得 同理可求得
插值余项与误差估计
两点三次埃尔米特插值余项：若在存在，则对，两点三次Hermite插值的误差为
其中，且依赖于
分段低次插值
高次插值的病态性质
上面我们根据上给出的节点插值做插值多项式近似，一般总认为的次数n越高逼近的精度越好，但实际上并非如此。
这是因为对任意的插值节点，当时，不一定收敛于，即龙格现象
分段线性插值
分段线性插值函数：设已知节点
上的函数值 ，记，折线函数满足：
则称为分段线性插值函数
定理：若函数，则在上一致收敛到
证明：由定义可知，分段线性插值的误差估计可以用插值余项得到
其中，由此知
分段三次埃尔米特插值函数
分段线性插值函数的导数是间断的，若在节点上除已知函数值外还给出导数值，这样就可构造一个导数连续的分段插值函数
分段三次埃尔米特插值函数：满足条件
称为分段三次埃尔米特插值函数
误差估计：设，为在节点上的分段三次埃尔米特插值多项式，则有
其中
三次样条插值
三次样条插值函数：设函数，且在每个小区间上是三次多项式，若在节点上给定函数值，并成立
则称为三次样条插值函数
从定义知要求出，在每个小区间上要确定4个待定系数，而共有n个小区间，故应确定4n个参数。根据在上二阶导数连续，在节点处应该满足连续性条件
这里共有3n-3个条件，再加上满足插值条件，共有4n-2个条件，因此还需要加上2个条件才能确定。通常，可在区间的端点上各加一个条件（称为边界条件），可根据实际问题的要求给定。常见的有以下3种：
定理：型三次样条插值问题的解存在且唯一
证明：记，将其设为待定参数，由于在上为三次多项式，故在上为线性函数，于是可得的分段表达式 将上式积分两次，并利用来确定积分常数，可得
要证唯一存在，只需证明可被唯一确定
对于上述满足其自身和二阶导函数在整个区间上连续，由连接条件，还要求一阶导数在整个区间上连续，即
我们有
于是，单元右端点的左极限和左端点的右极限分别为
从而有
若记 则上式可化为 此外，在端点和处应分别右连续和左连续，利用附加边界条件，可得
化简得到 综合所有条件，可以得到一个关于待定参数的阶线性代数方程组，其矩阵形式为
显然方程组的系数矩阵是严格对角占优的，因此非奇异，于是可以唯一的解出，从而得到型三次样条插值问题的解存在且唯一
三次样条插值函数的基本性质
定理：若是型三次样条插值函数，则对，有
证明：令，则，且满足 对，有
最佳逼近定理:若是型三次样条插值函数，则对，有
证明：利用引理及Cauchy不等式，有 从而
